ALGUNOS EJEMPLOS DE CHOQUES

Las colisiones unidimensionales

Las colisiones unidimensionales elásticas e inelásticas tanto desde el punto de vista de un observador situado en el Sistema de Referencia del Laboratorio como del Sistema de Referencia del Centro de Masa. A continuación, procedimos con el estudio de las colisiones bidimensionales. En ambos casos, hemos aplicado el principio de conservación del momento lineal a un sistema aislado de dos partículas interactuantes y a continuación, hemos efectuado el balance energético de la colisión

Consideremos un sistema aislado de dos partículas interactuantes.

Comprobaremos la conservación del momento lineal y del momento angular en una experiencia simulada de colisión entre dos discos, y efectuaremos el balance energético de dicha colisión.

Choque de dos discos

1. Tenemos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. El principio de conservación del momento lineal se escribe

• A lo largo del eje horizontal X

m₁u₁·senq₁+m₂u₂·senq₂=m₁v₁·senf₁+m₂v₂·senf₂

• A lo largo del vertical Y

-m₁u₁·cosq₁+m₂u₂·cosq₂=m₁v₁·cosf₁-m₂v₂·cosf₂

2. Constancia del momento angular de cada uno de los discos. El momento angular respecto de O antes y después del choque es el mismo

El momento angular de cada uno de los discos se mantiene constante. Ya que las fuerzas que ejerce un disco sobre el otro actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero. De la relación

m₁·r₁·u₁senq₁=m₁·r₁·v₁senf₁+I₁w₁

-m₂·r₂·u₂senq₂=-m₂·r₂·v₂senf₂+I₂w₂

3. De la definición de coeficiente de restitución

e(u₁cosq₁+u₂cosq₂)= v₁cosf₁+v₂cosf₂

No hay deslizamiento

Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales. Véase la figura anterior

v₁senf₁-r₁ w ₁=v₂senf₂+r₂ w₂

Sabiendo que el momento de inercia de los discos es I=mr²/2, obtenemos la relación

3v₁senf₁-2·u₁senq₁= 3v₂senf₂-2·u₂senq₂

Hay deslizamiento

La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt en el que los discos están en contacto modifica la componente normal del momento lineal del disco. De modo análogo el impulso de la fuerza F modifica la componente X del momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P, v_P

De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos

m ·(v₁cosf₁+ u₁cosq₁)= -v₁senf₁+ u₁senq₁

Las fuerzas en el punto de contacto P son iguales y de sentido contrario

De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos

m ·(v₂cos f₂+ u₂cosq₂)= v₂senf₂- u₂senq₂

Resolviendo estas ecuaciones cuando el segundo disco está en reposo, se obtienen las velocidades después del choque v₁ y v₂, las velocidades angulares de rotación w₁ y w₂, y los ángulos de desviación de las partículas respecto de la dirección de la velocidad de la partícula incidente.

En la deducción de las ecuaciones del choque se ha supuesto:

1. Que las fuerzas normales dependen de las propiedades elásticas de los cuerpos, mientras que las fuerzas tangenciales dependen del rozamiento entre los discos, las cuales dependen del estado de las superficies en contacto.
2. Que las fuerzas tangenciales y normales son independientes
3. Que los coeficientes de restitución y de rozamiento son constantes y solamente dependen de la naturaleza de los materiales con los que están hechos los discos.

Ejemplo 1º:

Datos relativos a los discos

• Cociente m₂/m₁=1 entre las masa de los discos,
• Cociente r₂/r₁=1 entre los radios de los discos
• Discos ambos de acero, e=0.94 y m =0.10

Antes del choque

• Velocidad inicial u₁=3.5 del primer disco
• Parámetro de impacto b=1.5.

Después del choque

• Velocidad del primer disco v₁=2.40, dirección f₁=39.75º
• Velocidad del segundo disco v₂=2.26, dirección f₂=-42.88º
• Velocidad angular del primer disco w₁=-0.45 (sentido de las agujas del reloj)
• Velocidad angular del segundo disco w₂=-0.45

1.- Conservación del momento lineal

El momento lineal inicial del primer disco (el segundo está inicialmente en reposo) es igual a la suma vectorial de los momentos lineales de los discos después del choque. A partir de los datos suministrados por el programa interactivo, se puede comprobar la conservación del momento lineal.

2.-Conservación del momento angular

1. Antes del choque

El momento angular inicial tal como podemos ver en la figura es Módulo, L=-m1u1·b (momento lineal por el brazo del momento lineal) Dirección perpendicular al plano de la página Sentido hacia dentro (negativo) L=-1·3.5·1.5=-5.25

2. Después del choque

• El momento angular de traslación del primer disco (de color azul) respecto de O es

Descomponemos el momento lineal en su componente horizontal y vertical, y hallamos el momento angular de cada componente. L1=-4.80

• Momento angular intrínseco de cada uno de los discos

Como los discos están en rotación respecto a su propio eje el momento angular total intrínseco (espín) es L2=I1w1+ I2 w2 Donde I1 e I2 son los momentos de inercia de cada uno de los discos L2=-0.5·0.45-0.5·0.45=-0.45

El momento angular total después del choque es el momento angular de traslación más el momento angular intrínseco (espín) de los discos

L=L₁+L₂

L=-4.80-0.45=-5.25

Con lo que queda comprobadas ambas leyes de conservación

3.-Balance energético

Energía inicial

E_i=6.125

Energía final

E_f=5.535

Un valor menor que la inicial.

Ejemplo 2º.

Datos relativos a los discos

• Cociente m₂/m₁=2 entre las masa de los discos (m₂=2, m₁=1)
• Cociente r₂/r₁=0.5 entre los radios de los discos (r₂=0.5, r₁=1)
• Discos ambos de acero, e=0.94 y m =0.10

Antes del choque

• Velocidad inicial u₁=3.5 del primer disco
• Parámetro de impacto b=0.2.

Después del choque

• Velocidad del primer disco v₁=1.08, dirección f₁=152.71º
• Velocidad del segundo disco v₂=2.24, dirección f₂=-6.34º
• Velocidad angular del primer disco w₁=-0.21
• Velocidad angular del segundo disco w₂=-0.21

1.- Conservación del momento lineal

• Antes del choque

Eje X: 1·3.5=3.5

Eje Y: 0.0

• Después del choque

Eje X: 1·1.08·cos152.71+2·2.24·cos(-6.34)=3.49

Eje Y: 1·1.08·sen152.71+2·2.24·sen(-6.34)=0.0004 » 0.0

El momento lineal se conserva

2.-Conservación del momento angular

• Antes del choque

L=-1·3.5·0.2=-0.7

• Después del choque

Traslación del primer disco:

Rotación de los discos

Los momentos de inercia de los discos son

Por lo que L» L₁+L₂

3.-Balance energético

Ejemplo 3º Choques frontales

Datos relativos a los discos

• Cociente m₂/m₁=2 entre las masa de los discos (m₂=2, m₁=1)
• Discos ambos de acero, e=0.94

Antes del choque

• Velocidad inicial u₁=3.5 del primer disco
• Parámetro de impacto b=0.0.

Después del choque

• Velocidad del primer disco v₁=-1.03
• Velocidad del segundo disco v₂=2.26,

1. Conservación del momento lineal

• Antes del choque

Eje X: 1.3.5=3.5

• Después del choque

Eje X: -1·1.03+2·2.26=3.49

Se conserva el momento lineal

2. Balance energético

Antes del choque

Después del choque